\begin{align*} F'(x) & = \lambda e^{-\lambda x}/0!\\ & - \lambda e^{-\lambda x}/1! + \lambda x \cdot \lambda e^{-\lambda x}/1!\\ & - \lambda^2 2x e^{-\lambda x}/2! + \lambda^2 x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x}/2!\\ & - \lambda^3 3x^2 e^{-\lambda x}/3! + \lambda^3 x^3 \cdot \lambda e^{-\lambda x}/3!\\ & . . .\\ & - \lambda^{r-1} (r-1)x^{r-2} e^{-\lambda x}/(r-1)! + \lambda^{r-1} x^{r-1} \cdot \lambda e^{-\lambda x}/(r-1)!\\ & = \lambda^r x^{r-1} e^{-\lambda x}/(r-1)! \end{align*}